Что можно приготовить из кальмаров: быстро и вкусно

Гилёва Анастасия

Скачать:

Предварительный просмотр:

XIV муниципальный конкурс

учебно-исследовательских работ учащихся

«Золотое сечение» в архитектуре традиционного крестьянского дома

Работу выполнила:

Гилева Анастасия Васильевна,

ученица 8А класса МОУ СОШ №8

Руководитель:

Гилева Ирина Ивановна,

учитель информатик МОУ СОШ №8

Голублева Зоя Егоровна,

учитель математики МОУ СОШ №8

Красновишерск - 2010

Введение

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете — посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение».

О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же.

Вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение», однако оно используется в архитектуре и скульптуре, в живописи и математике, в музыке и поэзии…

Египетские пирамиды, строения древних греков, божественные храмы великих зодчих удивляют свей красотой, гармонией. Ту же красоту и гармонию мы видим и в простой крестьянской избе. Как простой русский мужик, не зная основ архитектуры, мог «поднять» столь пропорциональные строения?

Глядя на брошенные избы деревень Бычина, Гилева, Палева, Семина, … мы задались вопросом: а есть ли золотое сечение в архитектуре этих старинных домов?

Цель нашей работы: исследовать архитектуру крестьянских изб деревень Бычина, Гилева, Палева, Семина на наличие золотой пропорции.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

1. изучить литературу по вопросу золотой пропорции и связанных с ней соотношений, используемых в архитектуре (золотое сечение отрезка, золотой прямоугольник);
2. провести измерения крестьянских изб деревень Бычина, Гилева, Палева, Семина;
3. обработать полученные данные с помощью вычислительных систем;
4. проанализировать полученные результаты.

Глава 1 «Золотая пропорция»

1.1. «Золотая пропорция» и связанные с ней соотношения

Вопрос о математических предпосылках прекрасного, о роли математики в искусстве волновал ещё древних греков, причем свой интерес они унаследовали от предшествующих цивилизаций. В наше время геометрия - необходимый элемент общего образования и культуры - представляет большой исторический интерес, имеет серьезное практическое применение и обладает внутренней красотой.

Иоганну Кеплеру принадлежат слова: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - теорема Пифагора, другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

Существует множество соотношений «золотого сечения», однако в своей работе м ы рассмотрим только два соотношения: «золотое сечение» отрезка и «золотой прямоугольник». Это не случайно, так как исследовать мы будем линейные размеры домов (высоту, длину и ширину).

Последуем примеру Сагателовой Л.С. и определим соотношение отрезков при «золотом сечении» и соотношение сторон «золотого прямоугольника» .

Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют «золотым сечением». В истории утвердилось ещё одно название - «золотая пропорция».

Пусть C AB и производит, как говорят, «золотое сечение» отрезка.

(1)

СВ:АВ=АС:СВ

Золотым сечением называется такое деление отрезка, при котором большая часть относится к целому, как меньшая часть к большей.

Если длину отрезка АВ обозначить через а, а длину АС - через х, то а-х - длина отрезка СВ, и пропорция (1) примет вид:

(2)

В пропорции, как известно, произведение крайних членов равно произведению средних и пропорцию (2) перепишем в виде:

x 2 =a(a-x)

Получаем квадратное уравнение:

x 2 +ax-a 2 =0.

Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому из двух корней

x 1,2= следует выбрать положительный или .

Число обозначается буквой в честь древнегреческого скульптора Фидия (родился в начале V века до н. э.), в творениях которого оно встречается многократно. Число - иррациональное, оно записывается так: =0,61803398…

Но в практике пользуются числом, взятым с точностью до тысячных 0,618, или до сотых 0,62, или до десятых 0,6.

Если, то, а a-x=0,38a.

Таким образом, части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. Так, выбирая размеры картины, художники старались, чтобы отношения её сторон равнялось. Такой прямоугольник стали называть «золотым».

Алгоритм построения «золотого» прямоугольника дошел до нас со времен Евклида:

1. Начертите квадрат и разделите его на два равных прямоугольника.
2. В одном из прямоугольников проведите диагональ АВ.
3. Циркулем проведите окружность радиуса АВ с центром в точке А.
4. Продолжите основание квадрата до пересечения с дугой в точке Р и проведите под прямым углом вторую строну искомого прямоугольника.

Найдем точное отношение сторон построенного прямоугольника.

Обозначим сторону исходного квадрата через а ; выразим через а длину диагонали АВ - это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетом а и; т. е. АВ=.

Найдем длины сторон построенного прямоугольника одна из них равна а , а другая - . Наконец, найдем отношение большей стороны прямоугольника к меньшей, получим.

Таким образом, в архитектуре крестьянских домов мы будем искать части «золотого сечения» отрезка - 62% и 38%, а также «золотой прямоугольник», признаком которого является число 1,62 как отношение большей стороны прямоугольника к меньшей.

1.2. «Золотая пропорция» в архитектуре

Золотая пропорция - понятие математическое. Но она является критерием гармонии и красоты, а это уже категории искусства.

В книгах о золотом сечении можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, всё зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое» сечение, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое» сечение дает наиболее спокойное соотношение тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. До н. э.) - храм Афины.

Размеры Парфенона хорошо изучены. Известно, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами 1:2, а план образует прямоугольник со сторонами 1 и.

Известно, что диагональ прямоугольника имеет размер, следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении геометрии Парфенона.

Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей «золотую» пропорцию.

Установлен закономерный ряд закономерный ряд золотых пропорций. Приняв за единицу ширину торцевого фасада храма, исследователи получили прогрессию, состоящую из 8 членов ряда:

1; где =0,618.

Тщательные измерения Парфенона показали, что в нем нет прямых линий, а поверхности не плоские, а слегка изогнутые. Зодчие Греции знали, что строго горизонтальная линия и плоская поверхность наблюдателю издалека представляются прогнувшимися в середине.

Другим примером из архитектуры древности является Пантеон.

Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал “золотое сечение”. Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, “золотое сечение” можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова (Ленинский проспект, д. 5). Еще один архитектурный шедевр Москвы - дом Пашкова - является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова (Приложение 1).

Постройкой деревенских домов занимались крестьяне, которые не обладали познаниями основ архитектуры вообще и понятием «золотого сечения» в частности. Однако в структуре традиционных сельских домов можно выделить пропорциональные отношения. Исследования показали, что пропорциональные отношения основаны на свойствах квадрата и его производных. Основным композиционным принципом формирования пропорциональной структуры крестьянского жилого дома являлся принцип подобия, нашедший свое выражение как в планировке здания, так и в структурной организации наиболее важных его элементов и деталей.

Особое место среди различных систем пропорционирования занимает «золотое сечение». Однако применение пропорций «золотого сечения» при формировании архитектурно-художественной структуры традиционного крестьянского дома основано скорее на интуиции, чем на преднамеренном и точном расчете — в пропорциональном строе народного жилища довольно редко встречаются отношения, точно соответствующие золотому сечению, и значительно чаще — весьма близкие ему.

Мы не нашли научных трудов, посвященных прямому исследованию вопроса использования соотношений «золотой пропорции» в архитектуре традиционного крестьянского дома. Тем интереснее исследуемая нами тема.

Глава 2 Особенности построения крестьянских домов.

2.1. Технология строительства крестьянского дома в деревнях Бычина, Гилева, Палева, Семина.

Со слов Гилева Марка Яковлевича, жителя д.Бычина, технология построения крестьянского дома включала несколько этапов:

Первый этап - заготовка леса. Для постройки дома выбирают ель, сосну, реже пихту. Лес заготавливают поздней осенью, на старый месяц. Всю зиму лес лежит.

Второй этап - обработка леса. Весной бревна скоблят от коры и рубят сруб. Подготавливают материал для пола и крыши, для этого «распускают» бревна на доски. В это же время идет заготовка мха. Используют как правило сфагнум.

Третий этап - высушивание. Летом приготовленный сруб, мох и доски сохнут естественным образом. Доски для сушки укладывают не плотно, для того, чтобы «воздух ходил».

Четвертый этап - поднимание сруба. В старину в основе дома клали стойки из лиственницы или кедра - наиболее устойчивых к гниению пород хвойных. В настоящее время подготовленный сруб укладывается на фундамент. Бревна перекладывают мхом.

Пятый этап - завершающий. Через год, когда сруб устоялся, проводят плотнические работы: закрывают двускатной крышей, сооружают потолок, ставят окна, двери, настилают утепленные двойные полы с земляной засыпкой и прочее.

Обычно при строительстве домов использовали бревна длиной от 5 до 10 м, диаметром от 30 до 40 см. Размеры основного сруба 6х7, 7х7 или 7х8 - ближе к квадрату. Чем больше дом, тем выше поднимают сруб (количество венцов - горизонтальных рядов бревен - увеличивается). Определенных норм нет, все строитель делает «на глаз», как ему нравится. Бревна обычно не сращивали по длине, размеры постройки увеличивали прирубкой другого сруба к существующему или установкой нового сруба вплотную к старому.

Наблюдения показывают, что деревенские дома, хотя имеют в основе близкий к квадрату сруб, по форме больше напоминают вытянутые параллелепипеды. Достигается это за счет пристроя хозяйственных построек к основному срубу. И жилое помещение и хозяйственные пристройки находятся под одной крышей.

Описанная выше технология, как мы видим, не дает механизмов расчета основных размеров дома. Более того, мы получили подтверждение того, что все строительство ведется «на глаз», без соблюдения каких-либо пропорций.

2.2. Исследование линейных размеров домов в деревнях Бычина, Гилева, Палева, Семина на наличие отношений «золотой пропорции».

Мы провели измерение нескольких домов. Измерение проводилось с помощью десятиметровой рулетки. Высота (H) дома бралась от земли до самого верхнего венца основного сруба. Ширина (C) дома - по фасадной части дома (без выступающих частей). Длина (L) дома измерялась с учетом всех пристроек, возведенных под одной крышей, то есть внутреннее деление дома на зоны не учитывалось.

Полученные данные представлены в Таблице 1.

Обработка полученных данных проводилась с использованием табличного процессора Ms Excel (Таблица 2). Были найдены коэффициенты корреляции для определения наличия зависимости между величинами и о характере этой зависимости. Коэффициент корреляции для высота и ширины дома 0,835904279 - близок к +1. Это означает, что между массивами значений есть сильная зависимость и она прямо пропорциональна. Коэффициент корреляции для ширины и длины дома, а также для высоты и длины дома близки к 0. Это означает, что как таковой зависимости между рассматриваемыми массивами не наблюдается.

Вычисление значений отношений ширины к высоте, длины к высоте и длины к ширине дома подтвердили вышесказанное.

Таблица 2

Анализ полученных результатов показал, что для фасадной части дома отношение ширины к высоте в 9 случаях из 14 близко к пропорции «золотого прямоугольника». И это не случайно, так как фасадная часть здания обращена на улицу и её внешнему виду при строительстве уделялось большое внимание. Строитель стремился придать фасаду гармоничную форму, основываясь на своей интуиции.

Остальным размерам уделялось меньше внимания и, как показывают исследования, их величина зависела от размеров хозяйственных пристроек, то есть напрямую была связана с практическими нуждами хозяев дома.

Заключение

Во все времена человек стремился к красоте и гармонии. Математика утверждает, что основой красоты является гармоничное соотношение частей целого - «золотая пропорция». Человек замечает эту пропорцию во всем живом и стремится при создании своих произведений учесть, использовать её.

В нашей работы мы задались целью найти соотношения «золотой пропорции» в архитектуре крестьянского дома.

Изучение литературы по данной тематике не дало нам точного ответа на вопрос: есть ли «золотое сечение» в пропорциях деревенской избы?

Проведенное нами исследование доказало, что при строительстве традиционного крестьянского дома применение пропорций «золотого сечения» основано скорее на интуиции, чем на преднамеренном и точном расчете. Довольно редко встречаются отношения, точно соответствующие «золотому сечению», и значительно чаще — весьма близкие ему.

Мы рассмотрели базовые прямоугольники: фасадная часть, основание дома, торцевая часть. Полученные с помощью корреляционного анализа данные доказывают наличие «золотого сечения» в фасадной части здания и его отсутствие в остальных базовых прямоугольниках. И это не случайно, так как фасадная часть здания обращена на улицу и её внешнему виду при строительстве уделялось большое внимание. Строитель стремился придать фасаду гармоничную форму, основываясь на своей интуиции. Остальным размерам уделялось меньше внимания и, как показывают исследования, их величина зависела от размеров хозяйственных пристроек, то есть напрямую была связана с практическими нуждами хозяев дома.

Литература

1. Геометрия: красота и гармония. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. Золотая пропорция. Симметрия вокруг нас. 8-9 классы: элективные курсы / авт.-сост. Л.С.Сагателова, В.Н.Студенецкая. - Волгоград: Учитель, 2007. - 158 с.
2. Гутнов А.Э. Мир архитектуры: Язык архитектуры. - М.: Мол. гвардия, 1985. - 351с.
3. Прохоренко А.И. Архитектура сельского дома. Прошлое и настоящее. - М.: Мол. гвардия, 1984. - 67с.
4. Стахов А.П. Гармония Мироздания и Золотое Сечение: древнейшая научная парадигма и ее роль в современной науке, математике и образовании.// http://www.trinitas.ru/rus/002/a0232001.htm

Приложение 1

Дом Пашкова в Москве

Сенат в Кремле

Голицынская больница в Москве

1. Что важно знать для расчетов и чем грозят ошибки
2. Типы и формы современных крыш
3. Коньковый прогон и углы наклона скатов
4. Расчеты высоты крыш разных форм
5. Расчет кровли с помощью онлайн-ресурсов
6. Что учитывать, приступая к расчетам крыши

Завершающим этапом строительства любого дома (будь это просторное основное жилище или небольшой дачный домик) становится обустройство крыши. Именно она придает экстерьеру презентабельный и завершённый облик, но при этом выполняет очень важную функцию – сохраняет тепло, создает уютную, максимально комфортную и приятную атмосферу внутри. Именно этот элемент любого строения без преувеличения называют одним из важнейших.

От чего зависит высота конструкции и что учитывают, выполняя предмонтажные вычисления

Особенно важно знать, как рассчитать высоту крыши для дома, причем точно понимать, как сделать это правильно. Именно поэтому нужно уделить некоторое время на изучение данного вопроса. Неточности, допущенные в предмонтажных вычислениях, приводят к серьёзным проблемам, с которыми потом слишком сложно справиться. Часто для устранения ошибок приходится приступать к работам по обустройству кровли заново. Например, если скаты выполнены с малым углом наклона, то такой конструкции будут причинять серьёзный вред зимние снегопады (из-за скопления снега есть риск того, что произойдет пролом кровли). Логично предположить, что можно просто делать высокий конёк и все проблемы будут решены, но и это не так, ведь слишком высокая крыша наиболее всего уязвима к порывам ветра.

Таким образом, приступая к расчетам крыши и углов наклона скатов, а также обустройству кровли, необходимо помнить, что на ее высоту значительное влияние оказывают:

• общая квадратура сооружения;
• климатические условия (как вы уже догадались, в регионах со снежными зимами не рекомендуются покатые крыши, оптимальные для тёплых континентов);
• материал для обустройства кровли, а также обрешетки;
• выбранная форма;
• высота основного здания;
• личные предпочтения и вкусы хозяина.

На параметры конструкции во многом влияет и ряд других факторов, например, прямая зависимость есть от слоя положенного утеплителя или установки снегозадержателей. Размеры конька связаны с особенностями стропильной системы, но вместе с этим могут увеличить общую площадь кровли и количество требующихся для её обустройства материалов.

Всё описанное выше подтверждает тот факт, что от размера крыши зависит прочность конструкции, долговечность её эксплуатации, эстетичность и гармоничность внешнего облика постройки.

Какие распространены типы современных кровельных конструкций

Тип крыши оказывает самое прямое влияние на расчет и используемые для него формулы, а также на величину и, следовательно, на расход материала, который нужно приобрести для обустройства кровли. Сегодня чаще всего возводятся такие конструкции:

• односкатная (её предпочтительнее использовать для хозяйственных построек);
• двускатная (самая популярная для жилых домов);
• четырехскатная. Тоже отличный выбор для жилых сооружений. Здесь предусмотрены многообразные варианты: эффектные шатровые (характерная черта которых – одинаковый размер и форма всех скатов) или сложные вальмовые (их особенностью является участие двух треугольных вальм и двух скатов с изломом (формы трапеции));
• мансардная (состоит из двух скатов, но обязательно с изломом). Данный излом позволяет увеличить площадь мансарды.

Конёк и определение рациональных углов наклона скатов

Для расчётов разных форм кровли используется такая величина как размер конька. Под этим названием понимается верхнее, горизонтально расположенное ребро конструкции, которое образовалось при пересечении двух скатов кровли (наклонных плоскостей).

Конёк есть на всех видах крыш, кроме шатровых и купольных. Если конструкция простая двухскатная, то он один, если же сложная – то коньков образуется от двух и более. На коньковые прогоны при возведении кровли опираются стропильные ноги, а исходя из того, какой кровельный материал выбран для окончательного покрытия, выбирается и основа конька.

Знать, как высоту крыши дома рассчитывать правильно, нужно и для сооружения надежной и прочной конструкции, а также для того, чтобы спрогнозировать предварительные затраты на строительство, и запланировать бюджет. В вычислениях рационального угла наклона учитывают материал, из которого решено выложить кровлю: одни кровельные покрытия могут быть уложены под углом до 90 градусов, а другие – только от 15 до 60 градусов.

Подбирая, с каким наклоном плоскостей выбрать крышу для своего дома, необходимо принимать в учет функциональность, общий внешний вид полученного в итоге сооружения (ведь вы захотите получить эстетичное строение) и климатические условия. Как показывает практика, для европейских стран идеальным решением можно назвать угол в 35-40 градусов.

Примеры вычислений, которые несложно выполнить самостоятельно

В принципе, если речь идет о простых конструкциях кровли, то понадобится совсем немного для того, чтобы рассчитать высоту крыши: калькулятор и несколько всем известных принципов из основ геометрии, которые преподают ещё по школьной программе.

Основной принцип расчета берём из правила, что длина одного катета в прямоугольном треугольнике будет равна длине другого, если его умножить на тангенс угла, образованного с основанием.

• измеряем ширину строения (допустим, у нас четырехметровый дом);
• принимаем величину угла, равную 35 градусам (как рекомендованный оптимальный вариант для европейских широт);
• рассчитываем тангенс, он получается для данного угла 0,7002;
• 4 метра * 0,7002 = 2,8 метра.

Наиболее сложными вычислениями сопровождается обустройство кровли мансардного типа, характерной чертой которого можно назвать наличие двух скатов с изломом, что со стороны делает её общий вид как бы «ломаным». Обустройство ломаной крыши позволит увеличить функциональную область мансарды. В основе расчета вальмовой крыши положен уже рассмотренный выше пример вычисления высоты двускатной крыши , однако не стоит забывать, что у кровли получается не один угол наклона, а несколько. Перед переходом к расчетным операциям необходимо определиться с ними. Практика показывает, что лучше всего выбрать такие величины углов:

• для нижнего – свыше 40 градусов;
• для остальных – меньше 40 градусов, но обязательно больше 15.

Чтобы упростить вычисления, но в то же время получить быстро наиболее точный результат, специалисты предпочитают пользоваться методом «золотого сечения», для этого на чертеже контур крыши вписывают в круг. Прибегая к этому удачному правилу, можно без проблем решить вопрос, как правильно рассчитать высоту крыши, и главное, избежать неточностей в расчете, которые на практике приведут к тому, что общий вид сооружения окажется неэстетичным, негармоничным и попросту некрасивым.

Куда можно обратиться за помощью: онлайн-ресурс и консультанты

Если возводимая крыша сложной формы , то она требует и более объёмных, длительных расчетов. Для вычислений используются данные по сечению стропил, шаг между ними, величина пролётов стропильной конструкции . Кроме того, в учет берутся размеры окон кровли, дымоходов, наличие парапетов и свесов, обязательно понадобится проанализировать возможность опор и выносливость фундамента.

Сегодня любой, кто не знает, как рассчитать высоту крыши, сделать это сможет, обратившись к помощникам, найти которых можно на просторах Интернета. Это могут быть специалисты, готовые вам оказать такие услуги в режиме онлайн, или специальный интернет-ресурс под названием «калькулятор», в этом случае посетитель сайта вводит запрашиваемые данные и система производит по ним вычисления.

Выбирая, к кому обратиться за помощью, помните, что вальмовая крыша – конструкция недешевая, поэтому не терпит ошибок и неточностей. Правильность проведенных вычислений должна быть гарантирована. Для новичков вычисления четырехскатных, вальмовых и шатровых крыш оказываются довольно сложными, поэтому их лучше доверить специалисту-проектировщику со стажем работы в данной сфере. Самостоятельно можно заниматься только вычислениями, касающимися односкатных конструкций для хозпостроек и гаражей, или простых двускатных, сооружаемых для покрытия небольшого дачного домика.

Классическая крыша русской избушки – двухскатная. Стропильная система для неё достаточно проста, и это обеспечило большую популярность такому виду крыши. Вальмовая крыша (четырёхскатная), например, геометрически сложнее. Её труднее рассчитать и построить, поэтому возьмёмся за расчёт симметричной крыши с двумя скатами.Расчёт её заключается в определении длины стропил, которые образуют пары. Каждая из этих пар присоединяется к соседним стропильным фермам при помощи обрешётки. Торцы крыши – это треугольные фронтоны. Длина стропил, как и высота крыши, будет определяться её углом. Как его выбрать правильно? Это подскажет преобладающая в местности погода.

Выбор высоты конька

Пример расчёта

Высота крыши влияет на внешний вид дома, сложность сборки стропильного каркаса и технические характеристики . Поэтому важно уделить особое внимание определению размера и только после этого закупать материал. Для того чтобы сделать расчеты необязательно обращаться в специализированные организации. В статье обсудим как правильно рассчитать высоту крыши, а также что на нее влияет.

Что влияет на высоту конька?

Коньком называют горизонтальное ребро сопряжения вершин двух скатов крыши. Завышение и занижение высоты негативно влияет на эксплуатацию кровли, портит внешний вид здания. Поэтому при расчете недостаточно руководствоваться лишь собственным вкусом. Перед тем как рассчитать высоту конька важно обратить внимание на различные технические условия.

В статье примем по умолчанию крыши с равными скатами по длине и углу наклона. Это упростит определение высоты, хотя все описанные принципа применимы и к асимметричным конструкциям.

Согласно геометрии, один из скатов будет гипотенузой, а расстояние от конька до основания катетом.

Теперь пройдемся по каждому пункту более подробно.

Кровельное покрытие

Для разных материалов есть собственные требования по крутизне уклона. От этого показателя будет зависеть расчет высоты конька двускатной крыши. Есть общие принципы выбора материал в зависимости от угла ската:

1. Для небольших штучных элементов уклон ската должен быть больше чем для длинных листовых материалов. Это связано с тем, что при скапливании влаги в стыках могут появиться протечки. Поэтому коньки для шиферной крыши выше чем коньки на крышу из металлочерепицы. Дело в том, что длина волнового шифера всего 1,75 м, а металлический кровельный материал может занимать всю длину ската.
2. Высота коньковой крыши влияет и на количество стыков. С занижением угла должно уменьшаться и количество соединений, нахлестов. Поэтому самыми надежными вариантами считаются крупнолистовые и рулонные материалы.
3. Тяжелые кровельные элементы размещают на крутых скатах. Крыши из шифера и керамической черепицы имеют большую массу, поэтому делают крутой уклон. Так, они не прогибают стропильные балки.

При этом стоит помнить, что чем круче уклон, тем больше материала для покрытия крыши понадобится. Так, если брать за 100% потребность для угла ската 7-10°, тогда угол в 45° потребует 150% перерасход, а угол 60° - все 200%.

Размеры скатов относительно ширины дома будет меняться вместе с высотой конька.

Чердачное помещение

Существует две разновидности домов: с чердачным помещением и без него. Для каждого варианта есть собственные условия расчета высоты конька. Если чердачное помещение жилое, тогда к росту самого высокого владельца добавляется 30-40 см. Но лучше подумать и о гостях, сделав потолок на высоте 2,4 метра. Но важно помнить, что это только потолок, а не высота крыши. Сюда нужно будет прибавить еще полметра или больше, в зависимости от предпочтений.

Если чердачное помещение нежилое, тогда высота конька рассчитывается под влиянием пожарной безопасности. Один из пунктов обязывает владельцев обеспечить сквозной проход под кровлей высотой не меньше 1,6 метра, а шириной 1,2 м. При сложных стропильных системах эти размеры могут быть сокращены на 0,4 м. Это пространство обеспечит свободный воздухообмен и проход для ремонта, осмотра.

Бесчерданые здания строятся так, что над перекрытием предыдущего этажа дополнительно возводятся стены. Например, в полумансардных зданиях высота стен увеличена на 1,4 метра. В таких конструкциях высота крыши отсчитывается от нижней грани мауэрлата. Такие конструкции подходят для климатических зон с сильными ветрами. Это делает возможным уменьшить уклон ската.

Бесчердачные сооружения популярны в строительстве гаражей, складов и других небольших бытовых построек. Обычно в них не предусматривается чердачное перекрытие , тем самым происходит экономия материала и времени.

Атмосферные явления

Климатические условия напрямую влияют на высоту конька. Поэтому в разных городах имеется свой «золотой» уклон ската. К атмосферным явлениям относят следующие факторы:

1. Осадки. Чем больше дождей снега в вашем регионе, тем больший уклон нужно делать. Соответственно увеличивается и высота крыши. Если пренебречь этим условием, тогда увеличивается вероятность появления протечек.
2. Ветер. Для местностей с ветрами средней и малой силы нет разницы в высоте конька. А вот так, где часто дуют сильные, порывистые ветра обычно уклон кровли не превышает 10°. Это накладывает определенные ограничения на применяемые материалы. Не учитывая силу ветра, вы рискуете потерять всю конструкцию крыши.
3. Количество снега. Существует отношение между крутизной уклона и количеством снега. Чем больше его выпадает зимой, тем больший угол нужно делать. Причина в увеличении нагрузки на стропильную систему. Рекомендуется отдавать предпочтение скатам уклоном больше 45°.

Определить особенности региона проживания можно обратившись в местную метеослужбу или к справочной литературе. В нормативной документации СНиП 23-01-99 или СП 20.13330.2011 есть погодные карты и рекомендации по строительству.

Способы расчета высоты конька

Расчет высоты крыши во многом зависит от ваших предпочтений. Есть два основных способа:

• математический;
• графический.

Разберемся с математическим способом подсчета. Как уже говорилось в первом подзаголовке, по умолчанию взяли двухскатную равнобедренную крышу. У нас есть возможность рассчитать необходимую высоту если знаем угол уклона и расстояние между скатами. Теперь понадобится таблица Брадиса и калькулятор. В справочной литературе находим величину тангенса нашего угла, а после умножаем ее на половину длины между скатами. В итоге получается высота конька.

Рассмотрим расчет на реальном примере. Предположим что наше строение имеет габариты 7х10 метра. При этом находимся в зоне со средними ветрами, а в роли кровельного покрытия используем металлочерепицу. Обустраивать чердак не планируем, а уклон возьмем равным 20°, чтобы дождевая вода без проблем стекала.

Получается, что длина катета составляет 7/10 = 3,5 метра. Согласно данным таблицы тангенс 20° равен 0,839. Теперь перемножаем получившиеся числа: 3,5*0,839 = 2,94. Значит, высота конька двухскатной крыши, от нижней части мауэрлата, составляет 2,94 метра.

Графический способ подойдет тем, кто имеет под рукой лист бумаги, карандаш и линейку с транспортиром. Все что понадобится это начертить крышу в разрезе, соблюдая масштаб. Для этого начертите горизонтальную линию, отметьте на ней границы основания крыши. Определите середину и прочертите перпендикуляр. С одной из сторон при помощи транспортира начертите линию под нужным углом. Точка пересечения покажет высоту, нужно лишь замерить ее линейкой.

Получившийся результат будет приближенным, к нему нужно еще добавить 2/3 толщины стропильной ноги. Небольшие отклонения допустимы и критически не влияют на эксплуатацию крыши. Эти погрешности складываются из необходимости делать вентиляцию под металлочерепицу и обрешетки.

Для того чтобы отметить нужную высоту в реальности достаточно определить середину здания. Затем прибить вертикальный брусок или жердь на нужной высоте. После того как был сделан расчет, постарайтесь как можно точнее перенести его с бумаги на реальное здание. Тогда крыша прослужит многие годы и не даст течи в самые дождливые дни.

Ещё один инструмент в арсенале архитектора – это масштаб и пропорции. Они относится к тому, как отдельные части здания связаны друг с другом и с тем, как в целом необычный дом гармонирует с окружающим ландшафтом.

Обратите внимание, что масштаб необязательно означает размер. Апартаменты могут быть довольно большими, но иметь комфортную и интимную для человека обстановку. И наоборот. В маленьком домике можно жить вполне прекрасно с использованием маленьких элементов и других конструктивных особенностей.

Некоторые дизайнеры и архитекторы интуитивно проектируют строения с великолепными пропорциями, другие применяют такие системы, как золотое сечение. Сегодня мы вас познакомим с тем, как использовать эти инструменты при разработке собственного творческого шедевра.

1. Сформируйте уголки в большом доме

Этот особняк был разделён на отдельные области, каждая из который с собственной крышей, придающей ему визуально меньший облик. Материалы, палитра и пропорций связывают различные части вместе, а также резиденцию с окружающими холмами и зелёными насаждениями .

Проект от Mahoney Architects & Interiors

2. Создайте интересную композицию в ландшафте

Домик в поле или на другой обширной территории должен обладать эффектом присутствия. Для этого используйте смелые цвета или архитектурной детали, способный подчеркнуть его внешний облик.

Декор от Eck | MacNeely Architects inc.

3. Изменение масштаба по мере приближения к дому

Уменьшите размер архитектурных деталей, поскольку существует прямая зависимость между человеческим телом и габаритами сооружения.

Проект от Bud Dietrich, AIA

4. Используйте пропорциональную систему, чтобы установить оптимальные размеры помещений

Высоту и ширину комнаты определите с использованием золотого сечения – техники, которая была разработана ещё тысячу лет назад.

Эскиз от Bud Dietrich, AIA

В этой комнате высота потолка и расположение декоративных панелей на кирпичной кладке стены было определено специалистом на основе мерных правил.

Спальня от Bud Dietrich, AIA

5. Стильные аксессуары и отделка

Подбирайте стильную мебель , аксессуары и варианты отделки, чтобы сохранить человеческий масштаб. Камин, мягкий уголок и ковёр создают интимную обстановку в довольно большом зале с высоким потолком.

Гостиная от Christopher A Rose AIA, ASID

6. Сформируйте грандиозный размах в помещении с помощью маленьких элементов

В этой крошечной комнатке ощущение простора и объёма создаётся благодаря сводчатому потолку, камину и балюстрадам.

Гостиная от Eck | MacNeely Architects inc.

7. Используйте обивку для потолка, чтобы уменьшить его воспринимаемую высоту

К тому же этот архитектурный элемент позволяет сформировать более комфортную атмосферу в комнате.

Дизайн от Lisa Henderson - Harvest Architecture

8. Сохраните существующие габариты здания при добавлении новых инженерных элементов

Обратите внимание на следующую фотографию, выступ из крыши гармонично сочетается с общей конструкцией благодаря использованию аналогичной черепицы и оконных блоков.

Фасад от One Room at a Time, Inc.

Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a: b = c: d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:
на две равные части – АВ: АС = АВ: ВС;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
таким образом, когда АВ: АС = АС: ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a: b = b: c или с: b = b: а.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x2 – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Второе золотое сечение

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44: 56.

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56: 44.

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Золотой треугольник

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор , древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей » посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах » Евклида . Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи , художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли , и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер . Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов.

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Ряд Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618: 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

Обобщенное золотое сечение

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?

Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через φS (n), то получим общую формулу φS (n) = φS (n – 1) + φS (n – S – 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 – ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0.

Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 –знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезe о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики – новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.

С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.

Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения – числа рациональные. И лишь позже – после открытия пифагорийцами несоизмеримых отрезков – на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа – 10, 5, 2, – из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.

Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.

В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной – а не бесконечной, как думали ранее! – суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.

Принципы формообразования в природе

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Рис. 13. Цикорий

Рис. 14. Ящерица живородящая

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Рис. 15. Яйцо птицы

Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология.

Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
Золотое сечение и симметрия

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.

Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.